Фазы колебаний скорости и ускорения

Графики смещения скорости и ускорения

Параметры колебаний запишем в виде системы уравнений:

(1.3.1)

Из этой системы уравнений можно сделать следующие выводы:

скорость колебаний тела максимальна и, по абсолютной величине, равна амплитуде скорости в момент прохождения через положение равновесия ( ). При максимальном смещении ()скорость равна нулю;
ускорение равно нулю при прохождении телом положения равновесия и достигает наибольшего значения, равного амплитуде ускорения при наибольших смещениях.

Ускорение всегда направлено к положению равновесия, поэтому, удаляясь от положения равновесия, тело двигается замедленно, приближаясь к нему – ускоренно. Ускорение всегда прямо пропорционально смещению, а его направление противоположно направлению смещения. Все эти выводы могут служить определением гармонического колебания.

Графики смещения скорости и ускорения гармонических колебаний приведены на рис. 1.3 и 1.4.

Начальная фаза φ определяется из начальных условий конкретной задачи (точно так же, как и амплитуда А).

Найдем разность фаз Δφ между фазами смещения х и скорости υ_x. Для этого воспользуемся (1.3.1):

Отсюда видно, что

Δφ = φ_x — φ_v = π / 2,

(1.2.2)

то есть скорость опережает смещение по фазе на π/2.

Аналогично можно показать, что ускорение, в свою очередь, опережает скорость по фазе на π/2:

т.к. , то φ_a — φ_v = ω t + φ + π — ω t — φ — π/2 = π/2,
или

φ_v — φ_a = — π/2.

(1.3.3)

Тогда ускорение опережает смещение на π, или

φ_x — φ_a = — π,

(1.3.4)

то есть смещение и ускорение находятся в противофазе. Все выше- изложенное хорошо иллюстрируется рис. 1.3.

Сила Кориолиса равна:

где — точечнаямасса,—векторугловой скоростивращающейся системы отсчёта,— вектор скорости движения точечной массы в этой системе отсчёта, квадратными скобками обозначена операциявекторного произведения.

Величина называется кориолисовым ускорением.

По физической природе

Смешанного типа— комбинации вышеперечисленных

По характеру взаимодействия с окружающей средой

Вынужденные— колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия. Примеры: листья на деревьях, поднятие и опускание руки. При вынужденных колебаниях может возникнуть явлениерезонанса: резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадениисобственной частотыосциллятораи частоты внешнего воздействия.

Читайте также: 1С получить разницу дат

Свободные (или собственные)— это колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегдазатухающие). Простейшими примерами свободных колебаний являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.

Автоколебания— колебания, при которых система имеет запаспотенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы —механические часы). Характерным отличием автоколебаний от вынужденных колебаний является то, что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.

Параметрические— колебания, возникающие при изменении какого-либо параметра колебательной системы в результате внешнего воздействия.

Случайные— колебания, при которых внешняя или параметрическая нагрузка является случайным процессом.

Гармонические колебания— колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид

где х— смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t;А— амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия;ω— циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний происходящих в течение 2π секунд;— полная фаза колебаний,— начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

(Любое нетривиальное [1] решение этого дифференциального уравнения — есть гармоническое колебание с циклической частотой)

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.

Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени

Таким образом, мы видим, что скорость при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на p/2.

Величина — максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости).

Следовательно, для скорости при гармоническом колебании имеем: ,

а для случая нулевой начальной фазы (см. график).

Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени:

—

вторая производная от координаты по времени. Тогда: .

Ускорение при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания ускорения опережают колебания скорости на p/2 и колебания смещения наp(говорят, что колебания происходятв противофазе).

Величина

— максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем: ,

а для случая нулевой начальной фазы: (см. график).

Из анализа процесса колебательного движения, графиков и соответствующих математических выражений видно, что при прохождении колеблющимся телом положения равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции), а при достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю (тело меняет направление своего движения).

или

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия — достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Основное уравнение динамики гармонических колебаний. Решение уравнения.

Второй закон Ньютона позволяет, в общем виде, записать связь между силой и ускорением, при прямолинейных гармонических колебаниях материальной точки (или тела) с массой m.

Т.к. исходя из второго закона , можно записать:

где Fx – проекция силы на направление х. Из формулы следует, что сила F пропорциональна х и всегда направлена к положению равновесия (поэтому ее и называют возвращающей силой). Период и фаза силы совпадают с периодом и фазой ускорения.

Примером сил удовлетворяющих формуле являются упругие силы. Силы же, имеющие иную природу, но удовлетворяющие ф-ле, называются квазиупругими. Квазиупругая сила:

где k – коэффициент квазиупругой силы.

Сравнивая ф-лы, видим, что .

В случае прямолинейных колебаний вдоль оси х, проекция ускорения на эту ось .

Подставив выражения для ax и Fx во второй закон Ньютона, получим основное уравнение динамики гармонических колебаний, вызываемых упругими или квазиупругими силами:

или ; , тогда

Решением этого уравнения всегда будет выражение вида:

,т.е. смещение груза под действием упругой или квазиупругой силы является гармоническим колебанием, происходящим по синусоидальному закону.

Круговая частота незатухающих колебаний , но, т.к. , тогда , отсюда

то есть чем больше жесткость пружины k, тем меньше период (больше частота), а чем больше масса, тем период колебаний больше.

Маятники математический и физический, пружинный. Их уравнения движения.

Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на тонкой нерастяжимой и невесомой нити.

Период колебаний математического маятника зависит от его длины, определяется по формуле

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует. В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.

Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.

Тогда период колебаний математического маятника будет равен: