Содержание:
Обычно формулу координаты x вершины параболы используют, когда имеют дело с квадратичной функцией.
Квадратичная функция имеет вид: y = ax 2 + bx + c.
Ее график — это парабола с вершиной, координаты которой определяются по формулам:
Однако формулу координаты y знать и использовать не обязательно. Обычно проще подставить найденное значение x в саму квадратичную функцию и найти оттуда y.
Например, если дана функция y = 2x 2 – 4x + 5, то координата x ее вершины будет равна:
Координату же y вычислим, подставив найденный x в саму функцию:
y = 2 × 12 – 4 × 1 + 5 = 3
Таким образом, вершина графика функции y = 2x 2 – 4x + 5 находится в точке с координатами (1; 3).
В остальном парабола квадратичной функции вида y = ax 2 + bx + c такая же как функции вида y = ax 2 . Отличие лишь в сдвиге вершины по сравнению с функцией y = ax 2 . Так в приведенном выше примере (y = 2x 2 – 4x + 5) парабола будет по форме и направлению ветвей такой же, как для функции y = 2x 2 . Разница лишь в координатах вершин парабол.
Формулы вершины параболы получаются при преобразовании квадратичной функции к виду y = f(x + l) + m. Делается это методом выделения полного квадрата. Как известно функции вида y = f(x + l) + m отличаются от функций y = f(x) сдвигом из графиков по оси x на –l и по оси y на m. Именно l в преобразованной квадратичной функции оказывается равным –b/2a, а m = (4ac – b 2 ) / 4a. То есть l и m — это координаты x и y соответственно.
Доказывается это применением метода выделения полного квадрата к квадратному трехчлену общего вида ax 2 + bx + c. При этом выполняются следующие преобразования:
-
Объединим первые два члена многочлена: y = (ax 2 + bx) + c
Вынесем коэффициент a за скобку, при этом b разделится на a:
Представим, что у нас есть квадрат суммы, в котором x одно из слагаемых, а из выражения в скобках надо получить его полный квадрат суммы. Одночлен (b/a)x умножим на 2 и разделим на 2 одновременно. Также прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого квадрата суммы. Получим:
Выделим квадрат суммы:
Приведем к общему знаменателю свободные члены:
Таким образом, мы привели функцию y = ax 2 + bx + c к виду y = a(x + l) 2 + m, что соответствует функции y = f(x + l) + m, где f(x) = ax 2 . А как строить графики последней известно.
Вершина параболы квадратного уравнения — это самая высокая или самая низкая ее точка. Чтобы найти вершину параболы, вы можете воспользоваться специальной формулой или методом дополнения до полного квадрата. Ниже описано, как это сделать.
Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.
Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы
График функции y = ax 2 + bx + c, где a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.
У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.
Первый способ
Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0.
Например, y =x 2 –8 x +15;
находим первый, второй коэффициенты и свободный член;
подставляем значения a и b в формулу;
вычисляем значения y;
Значит, вершина находится в точке (4;-1).
Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n — корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.
Рассмотрим на примере y =x 2 –6x+5
1) Приравниваем к нулю:
2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b 2 –4 ac:
3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:
- 1 — первый корень;
- 5 — второй корень.
Второй способ
Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x 2 +8 x +10.
1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x 2 + 8x = -10.
2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2) 2 и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.
У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:
3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4) 2 = 6.
4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).
Третий способ
Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина — точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:
1. Нахождение первой производной по формуле f'(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.
2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.
Рассмотрим этот способ подробнее.
Дана функция y = 4x²+16x-17;
- Записываем производную и приравниваем к нулю.
f'(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0
Построение параболы
Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.
Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x 2 +11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).
1) Строим таблицу
| X | 5,5 |
| Y |
2) Заполняем таблицу
Так как парабола имеет осевую симметрию, то можно считать только значения справа или слева от вершины. Лучше считать те значения, которые ближе к 0, так удобнее. В нашем случае эти значения 4 и 5.
| X | 4 | 5 | 5,5 | 6 | 7 |
| Y | -4 | -6 | -6,25 | -6 | -4 |
Советы
Правильно находите коэффициенты.
Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.
Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.
Обратите ваше внимание на то, что:
- Нужно проверять правильно ли ваше решение.
- Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.
Видео
Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы