Содержание:
- 1 Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
- 2 Свойства скалярного произведения векторов
- 3 Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов
- 4 Скалярное произведение в координатах
- 5 Скалярное произведение и его свойства
- 6 Скалярное произведение с примерами и решениями
- 7 Физический смысл скалярного произведения
Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = < ax ; ay > и b = < bx ; by > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = < ax ; ay ; az > и b = < bx ; by ; bz > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Формула скалярного произведения n -мерных векторов
В случае n -мерного пространства скалярное произведение векторов a = < a 1 ; a 2 ; . ; an > и b = < b 1 ; b 2 ; . ; bn > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Свойства скалярного произведения векторов
Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов
Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.
Решение: a · b = | a | · | b | cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.
p · q = ( a + 3 b ) · (5 a — 3 b ) = 5 a · a — 3 a · b + 15 b · a — 9 b · b =
= 5 | a | 2 + 12 a · b — 9 | b | 2 = 5 · 3 2 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ — 9 · 2 2 = 45 +36 -36 = 45.
Решение: Запишем вектора a и b через ортонормированные базисные вектора i и j :
Тогда используя свойства ортов ( i 2 = 1, j 2 = 1, i · j = 0)
( a + 2 i )·( b — 2 j ) = ( i + 2 j + 2 i )·(4 i — 8 j — 2 j ) = (3 i + 2 j )·(4 i — 10 j ) = 12 i 2 — 30 i · j + 12 j · i — 20 j 2 = 12 — 0 + 0 — 20 = -8
Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 — 5 = 15.
Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 — 5 -4 = 11.
Скалярное произведение векторов называют число, равное произведению дин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение произведения векторов a → и b → имеет вид a → , b → . Преобразуем в формулу:
a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → и b → обозначают длины векторов, a → , b → ^ — обозначение угла между заданными векторами. Если хоть один вектор нулевой, то есть имеет значение 0, то и результат будет равен нулю, a → , b → = 0
При умножении вектора самого на себя, получим квадрат его дины:
a → , b → = a → · b → · cos a → , a → ^ = a → 2 · cos 0 = a → 2
Скалярное умножение вектора самого на себя называют скалярным квадратом.
Вычисляется по формуле:
a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Запись a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → показывает, что n p b → a → — это числовая проекция a → на b → , n p a → a → — проекция b → на a → соостветсвенно.
Сформулируем определение произведения для двух векторов:
Скалярное произведение двух векторов a → на b → называют произведение длины вектора a → на проекцию b → на направление a → или произведение длины b → на проекцию a → соответственно.
Скалярное произведение в координатах
Вычисление скалярного произведения можно производить через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.
Скаларное произведение двух векторов на плоскости, в трехмерном простарнстве называют сумму координат заданных векторов a → и b → .
При вычислении на плоскости скаларного произведения заданных векторов a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) в декартовой системе используют:
a → , b → = a x · b x + a y · b y ,
для трехмерного пространства применимо выражение:
a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .
Фактически это является третьим определением скалярного произведения.
Для доказательства используем a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y для векторов a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) на декартовой системе.
Следует отложить векторы
O A → = a → = a x , a y и O B → = b → = b x , b y .
Тогда длина вектора A B → будет равна A B → = O B → — O A → = b → — a → = ( b x — a x , b y — a y ) .
Рассмотрим треугольник O A B .
A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) верно , исходя из теоремы косинусов.
По условию видно, что O A = a → , O B = b → , A B = b → — a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , значит, формулу нахождения угла между векторами запишем иначе
b → — a → 2 = a → 2 + b → 2 — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) .
Тогда из первого определения следует, что b → — a → 2 = a → 2 + b → 2 — 2 · ( a → , b → ) , значит ( a → , b → ) = 1 2 · ( a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 ) .
Применив формулу вычисления длины векторов, получим:
a → , b → = 1 2 · ( ( a 2 x + a y 2 ) 2 + ( b 2 x + b y 2 ) 2 — ( ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 ) 2 ) = = 1 2 · ( a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y — ( b x — a x ) 2 — ( b y — a y ) 2 ) = = a x · b x + a y · b y
( a → , b → ) = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) = = a x · b x + a y · b y + a z · b z
– соответственно для векторов трехмерного пространства.
Скалярное произведение векторов с координатами говорит о том, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат в пространстве и на плоскости соответственно. a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) и ( a → , a → ) = a x 2 + a y 2 .
Скалярное произведение и его свойства
Существуют свойства скалярного произведения, которые применимы для a → , b → и c → :
- коммутативность ( a → , b → ) = ( b → , a → ) ;
- дистрибутивность ( a → + b → , c → ) = ( a → , c → ) + ( b → , c → ) , ( a → + b → , c → ) = ( a → , b → ) + ( a → , c → ) ;
- сочетательное свойство ( λ · a → , b → ) = λ · ( a → , b → ) , ( a → , λ · b → ) = λ · ( a → , b → ) , λ — любое число;
- скалярный квадрат всегда больше нуля ( a → , a → ) ≥ 0 , где ( a → , a → ) = 0 в том случае, когда a → нулевой.
Пример 1
Свойства объяснимы благодаря определению скалярного произведения на плоскости и свойствам при сложении и умножении действительных чисел.
Доказать свойство коммутативности ( a → , b → ) = ( b → , a → ) . Из определения имеем, что ( a → , b → ) = a y · b y + a y · b y и ( b → , a → ) = b x · a x + b y · a y .
По свойству коммутативности равенства a x · b x = b x · a x и a y · b y = b y · a y верны, значит a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .
Отсюда следует, что ( a → , b → ) = ( b → , a → ) . Что и требовалось доказать.
Дистрибутивность справедлива для любых чисел:
( a ( 1 ) → + a ( 2 ) → + . . . + a ( n ) → , b → ) = ( a ( 1 ) → , b → ) + ( a ( 2 ) → , b → ) + . . . + ( a ( n ) → , b → )
и ( a → , b ( 1 ) → + b ( 2 ) → + . . . + b ( n ) → ) = ( a → , b ( 1 ) → ) + ( a → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a → , b → ( n ) ) ,
( a ( 1 ) → + a ( 2 ) → + . . . + a ( n ) → , b ( 1 ) → + b ( 2 ) → + . . . + b ( m ) → ) = = ( a ( 1 ) → , b ( 1 ) → ) + ( a ( 1 ) → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a ( 1 ) → , b ( m ) → ) + + ( a ( 2 ) → , b ( 1 ) → ) + ( a ( 2 ) → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a ( 2 ) → , b ( m ) → ) + . . . + + ( a ( n ) → , b ( 1 ) → ) + ( a ( n ) → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a ( n ) → , b ( m ) → )
Скалярное произведение с примерами и решениями
Любая задача такого плана решается с применением свойств и формул, касающихся скалярного произведения:
- ( a → , b → ) = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) ;
- ( a → , b → ) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
- ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y или ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
- ( a → , a → ) = a → 2 .
Рассмотрим некоторые примеры решения.
Длина a → равна 3, длина b → равна 7. Найти скалярное произведение, если угол имеет 60 градусов.
По условию имеем все данные, поэтому вычисляем по формуле:
( a → , b → ) = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) = 3 · 7 · cos 60 ° = 3 · 7 · 1 2 = 21 2
Ответ: ( a → , b → ) = 21 2 .
Заданны векторы a → = ( 1 , — 1 , 2 — 3 ) , b → = ( 0 , 2 , 2 + 3 ) . Чему равно скалярной произведение.
В данном примере рассматривается формула вычисления по координатам, так как они заданы в условии задачи:
( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + ( — 1 ) · 2 + ( 2 + 3 ) · ( 2 + 3 ) = = 0 — 2 + ( 2 — 9 ) = — 9
Ответ: ( a → , b → ) = — 9
Найти скалярное произведение A B → и A C → . На координатной плоскости заданы точки A ( 1 , — 3 ) , B ( 5 , 4 ) , C ( 1 , 1 ) .
Для начала вычисляются координаты векторов, так как по условию даны координаты точек:
A B → = ( 5 — 1 , 4 — ( — 3 ) ) = ( 4 , 7 ) A C → = ( 1 — 1 , 1 — ( — 3 ) ) = ( 0 , 4 )
Подставив в формулу с использованием координат, получим:
( A B → , A C → ) = 4 · 0 + 7 · 4 = 0 + 28 = 28 .
Ответ: ( A B → , A C → ) = 28 .
Заданы векторы a → = 7 · m → + 3 · n → и b → = 5 · m → + 8 · n → , найти их произведение. m → равен 3 и n → равен 2 единицам, они перпендикулярные.
( a → , b → ) = ( 7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n → ) . Применив свойство дистрибутивности, получим:
( 7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n → ) = = ( 7 · m → , 5 · m → ) + ( 7 · m → , 8 · n → ) + ( 3 · n → , 5 · m → ) + ( 3 · n → , 8 · n → )
Выносим коэффициент за знак произведения и получим:
( 7 · m → , 5 · m → ) + ( 7 · m → , 8 · n → ) + ( 3 · n → , 5 · m → ) + ( 3 · n → , 8 · n → ) = = 7 · 5 · ( m → , m → ) + 7 · 8 · ( m → , n → ) + 3 · 5 · ( n → , m → ) + 3 · 8 · ( n → , n → ) = = 35 · ( m → , m → ) + 56 · ( m → , n → ) + 15 · ( n → , m → ) + 24 · ( n → , n → )
По свойству коммутативности преобразуем:
35 · ( m → , m → ) + 56 · ( m → , n → ) + 15 · ( n → , m → ) + 24 · ( n → , n → ) = = 35 · ( m → , m → ) + 56 · ( m → , n → ) + 15 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → ) = = 35 · ( m → , m → ) + 71 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → )
В итоге получим:
( a → , b → ) = 35 · ( m → , m → ) + 71 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → ) .
Теперь применим формулу для скалярного произведения с заданным по условию углом:
( a → , b → ) = 35 · ( m → , m → ) + 71 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → ) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos ( m → , n → ^ ) + 24 · n → 2 = = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .
Ответ: ( a → , b → ) = 411
Если имеется числовая проекция.
Найти скалярное произведение a → и b → . Вектор a → имеет координаты a → = ( 9 , 3 , — 3 ) , проекция b → с координатами ( — 3 , — 1 , 1 ) .
По условию векторы a → и проекция b → противоположно направленные, потому что a → = — 1 3 · n p a → b → → , значит проекция b → соответствует длине n p a → b → → , при чем со знаком «-»:
n p a → b → → = — n p a → b → → = — ( — 3 ) 2 + ( — 1 ) 2 + 1 2 = — 11 ,
Подставив в формулу, получим выражение:
( a → , b → ) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + ( — 3 ) 2 · ( — 11 ) = — 33 .
Ответ: ( a → , b → ) = — 33 .
Задачи при известном скалярном произведении, где необходимо отыскать длину вектора или числовую проекцию.
Какое значение должна принять λ при заданном скалярном произведении a → = ( 1 , 0 , λ + 1 ) и b → = ( λ , 1 , λ ) будет равным -1.
Из формулы видно, что необходимо найти сумму произведений координат:
( a → , b → ) = 1 · λ + 0 · 1 + ( λ + 1 ) · λ = λ 2 + 2 · λ .
В дано имеем ( a → , b → ) = — 1 .
Чтобы найти λ , вычисляем уравнение:
λ 2 + 2 · λ = — 1 , отсюда λ = — 1 .
Физический смысл скалярного произведения
Механика рассматривает приложение скалярного произведения.
При работе А с постоянной силой F → перемещаемое тело из точки M в N можно найти произведение длин векторов F → и M N → с косинусом угла между ними, значит работа равна произведению векторов силы и перемещения:
Перемещение материальной точки на 3 метра под действием силы равной 5 ньтонов направлено под углом 45 градусов относительно оси. Найти A .
Так как работа – это произведение вектора силы на перемещение, значит, исходя из условия F → = 5 , S → = 3 , ( F → , S → ^ ) = 45 ° , получим A = ( F → , S → ) = F → · S → · cos ( F → , S → ^ ) = 5 · 3 · cos ( 45 ° ) = 15 2 2 .
Ответ: A = 15 2 2 .
Материальная точка, перемещаясь из M ( 2 , — 1 , — 3 ) в N ( 5 , 3 λ — 2 , 4 ) под силой F → = ( 3 , 1 , 2 ) , совершила работа равную 13 Дж. Вычислить длину перемещения.
При заданных координатах вектора M N → имеем M N → = ( 5 — 2 , 3 λ — 2 — ( — 1 ) , 4 — ( — 3 ) ) = ( 3 , 3 λ — 1 , 7 ) .
По формуле нахождения работы с векторами F → = ( 3 , 1 , 2 ) и M N → = ( 3 , 3 λ — 1 , 7 ) получим A = ( F ⇒ , M N → ) = 3 · 3 + 1 · ( 3 λ — 1 ) + 2 · 7 = 22 + 3 λ .
По условию дано, что A = 13 Д ж , значит 22 + 3 λ = 13 . Отсюда следует λ = — 3 , значит и M N → = ( 3 , 3 λ — 1 , 7 ) = ( 3 , — 10 , 7 ) .
Чтобы найти длину перемещения M N → , применим формулу и подставим значения:
Скалярным произведением (или внутренним произведением) 2 векторов есть операция с двумя
векторами, итогом чего является число (скаляр), которое не зависит от системы координат и которое
характеризует длины векторов-сомножителей и угол между векторами.
Также скалярным произведением двух векторов называется число, которое
равно произведению модулей 2 векторов на косинус угла между векторами.
Скалярное произведение векторов формула:

Этой операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта
операция зачастую рассматривается как коммутативная и линейная по каждому из сомножителей.
Скалярное произведение векторов ,
, обозначается так:
(порядок записи сомножителей не имеет
значения, т.е. ).
Еще используются такие обозначения: ,
,
.
В основном имеется ввиду, что скалярное произведение определено положительно, т.е.
при каждом . Если этого не иметь ввиду, то произведение зовется индефинитным
(неопределенным).
Если хотя бы один из 2 векторов или
равен нулевому вектору (равен нулю), то
.
Свойства скалярного произведения векторов.
1. — симметричность.
2. обозначается
и зовется скалярный квадрат.
3. Если , то
4. Если и и
и
, то
. Обратное утверждение тоже соответствует
5.
6.
7.
Если же векторы и
заданы своими координатами:
,
, то: скалярное
произведение векторов, формула:
Формула для определения длины вектора:
Длина (модуль) вектора, с известными координатами, равен квадратному корню из суммы квадратов
Длина вектора , заданного своими координатами, равна:
Как определить угол между 2 векторами:
Как найти угол между двумя векторами ,
, формула:
Ежели угол меж двумя векторами острый, то их скалярное произведение имеет положительный знак; если
же угол между двумя векторами тупой, то их скалярное произведение имеет отрицательный знак.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы
ортогональны.
Альтернативное определение скалярного произведения векторов (вычисление скалярного
произведения двух векторов, заданных своими координатами).
Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца очень просто. Давайте
рассмотрим этот вопрос:
Пусть есть вектор AB, точка А – это начало вектора, а В — конец, и координаты этих точек приведены ниже:
Исходя из этого, координаты вектора АВ:
Точно так же и в двухмерном пространстве – разница в отсутствии третьих координат.
Итак, предположим, даны два вектора, которые заданы набором координат своих точек:
а) В двухмерном пространстве (плоскость):
Значит, скалярное произведение этих векторов вычислим по формуле:
б) В трехмерном пространстве:
Как и в двухмерном случае, скалярное произведение двух векторов вычисляем по формуле: