Является ли планарным граф

Плана́рный граф — граф, который может быть изображён на плоскости без пересечения рёбер. Иначе говоря, граф планарен, если он изоморфен некоторому плоскому графу, то есть графу, изображённому на плоскости так, что его вершины — это точки плоскости, а рёбра — непересекающиеся кривые на ней. Области, на которые граф разбивает плоскость, называются его гранями. Неограниченная часть плоскости — тоже грань, так называемая внешняя грань.

Содержание

Простейшие свойства плоских графов [ править | править код ]

Формула Эйлера [ править | править код ]

Для связного плоского графа справедливо следующее соотношение между количеством вершин | V ( G ) | <displaystyle |V(G)|> , рёбер | E ( G ) | <displaystyle |E(G)|> и граней | F ( G ) | <displaystyle |F(G)|> (включая внешнюю грань):

| V ( G ) | − | E ( G ) | + | F ( G ) | = 2. <displaystyle |V(G)|-|E(G)|+|F(G)|=2.>

Оно было найдено Эйлером в 1736 г. [1] при изучении свойств выпуклых многогранников. Это соотношение справедливо и для других поверхностей с точностью до коэффициента, называемого эйлеровой характеристикой. Это инвариант поверхности, для плоскости или сферы он равен двум, а, например, для поверхности тора — нулю.

Формула имеет множество полезных следствий. Во-первых, все плоские укладки одного графа имеют одинаковое количество граней. Во-вторых, если каждая грань ограничена не менее чем тремя рёбрами (при условии, что в графе больше двух рёбер), а каждое ребро разделяет две грани, то

3 | F ( G ) | ≤ 2 | E ( G ) | , <displaystyle 3|F(G)|leq 2|E(G)|,>

| E ( G ) | ≤ 3 | V ( G ) | − 6 , <displaystyle |E(G)|leq 3|V(G)|-6,>

то есть, при большем числе рёбер такой граф заведомо непланарен. Обратное утверждение неверно: в качестве контрпримера можно взять граф Петерсена. Отсюда следует, что в планарном графе всегда можно найти вершину степени не более 5.

Общая формула также легко обобщается на случай несвязного графа:

| V ( G ) | − | E ( G ) | + | F ( G ) | = 1 + | C ( G ) | , <displaystyle |V(G)|-|E(G)|+|F(G)|=1+|C(G)|,>

где | C ( G ) | <displaystyle |C(G)|> — количество компонент связности в графе.

Два примера непланарных графов [ править | править код ]

Полный граф с пятью вершинами [ править | править код ]

Лемма. Полный граф с пятью вершинами (К₅) нельзя уложить на плоскость.

Доказательство. Для него не выполняется E ⩽ 3 V − 6 <displaystyle Eleqslant 3V-6> .

«Домики и колодцы» [ править | править код ]

Задача о трёх колодцах. Есть три дома и три колодца. Можно ли так проложить дорожки между домами и колодцами, чтобы от каждого дома к каждому колодцу вела дорожка, и никакие две дорожки не пересекались бы. Мосты строить нельзя.

Лемма. Полный двудольный граф с тремя вершинами в каждой из долей (К_3,3) нельзя уложить на плоскость.

Доказательство. По формуле Эйлера граф имеет 5 граней.

С другой стороны: любая грань (включая внешнюю) содержит чётное число рёбер — а значит, не менее 4. Поскольку каждое ребро включается в ровно две грани, получается соотношение 4 F ⩽ 2 E <displaystyle 4Fleqslant 2E> , F — количество граней, E — количество рёбер. Подставляем в это неравенство F = 5 и E = 9 и видим, что оно не выполняется.

Теорема Понтрягина — Куратовского [ править | править код ]

Очевидно утверждение: если граф G содержит подграф, гомеоморфный K₅ или K_3,3, то его невозможно разложить на плоскости. Оказывается, верно и обратное.

Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных полному графу из пяти вершин (K₅) или графу «домики и колодцы» (K_3,3).

Теорему также можно сформулировать в следующем варианте (иногда его называют «теорема Вагнера»).

Граф планарен тогда и только тогда, когда не содержит подграфов, стягивающихся в K₅ или K_3,3.

Компьютерная проверка на планарность [ править | править код ]

Первый алгоритм, отыскивающий подграф Куратовского за линейное время, разработан в 1974 году Хопкрофтом и Тарьяном [2] .

Признаки непланарных графов [ править | править код ]

• достаточное условие — если граф содержит полный двудольный подграф K_3,3 или полный подграф K₅, то он является непланарным;
• необходимое условие — если граф непланарный, то он должен содержать больше 4 вершин, степень которых больше 3, или больше 5 вершин степени больше 2.

Планарные графы в задачах [ править | править код ]

Раскраска карты. Необходимо раскрасить плоскую карту заданным числом красок так, что любые две страны, имеющие общий участок границы, имели различные цвета. Оказывается, что при отсутствии анклавов, всегда достаточно четырёх красок, но это утверждение чрезвычайно сложно доказать, см. Проблема четырёх красок.

Спрямление графа (теорема Фари). Любой плоский граф можно перерисовать так, чтобы он остался плоским, а рёбра стали отрезками прямых.

Обобщения [ править | править код ]

Граф укладывается на некоторой поверхности, если его можно на ней нарисовать без пересечения рёбер. Уложенный граф называется геометрическим, его вершины — это точки поверхности, а рёбра — линии на ней. Области, на которые граф разбивает поверхность, называются гранями. Плоский граф — граф, уложенный на плоскость.

Число пересечений графа G — наименьшее число пересечений рёбер плоского рисунка графа G . Таким образом, граф является планарным тогда и только тогда, когда его число пересечений равно нулю.

Тороидальный граф — граф, который можно уложить на тор.

Говорят, что граф G укладывается на плоскости, т. е. является планарным, или плоским, если его можно нарисовать так, что его ребра будут пересекаться лишь в концевых точках – вершинах. Изображение планарного графа на плоскости называется планарной укладкой.

Рис. 1.24. Примеры планарного и непланарных графов: а — планарная укладка с непрямолинейными ребрами; б — планарная укладка того же графа с прямолинейными ребрами; в — непланарный граф K₅;

Теорема. Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит в качестве подграфа графа или.До появления этой теоремы определение планарности графа считалось одной из труднейших задач теории графов.

На рис. 1.25 приведен непланарный граф Петерсена.

Рис. 1.25. Непланарность графа Петерсена:

а — граф Петерсена; б — граф Петерсена, стянутый к K₅; в — один из подграфов графа Петерсена, гомеоморфный K_3,3

Граф Петерсена не имеет подграфов, гомеоморфных K₅, но легко стягивается к K₅. Сложнее увидеть, что граф Петерсена имеет подграф, гомеоморфный K_3,3.

53. Теорема Куратовского-Понтрягина. Граф Петерсена.

Доказательство: необходимости. С геометрической точки зрения, добавление вершины степени 2 — это добавление точки на ребре, а стирание такой вершины объединяет два ребра с общим концом в одно.

Очевидно, что любая из этих операций, примененная к плоскому графу, снова даст плоский граф. Значит, по следствиям из теоремы Эйлера, никакой плоский (а следовательно, и планарный) граф не гомеоморфен графам K₅ и K_3,3. С учетом замечания о непланарных подграфах, необходимость доказана.

54.Двухполюсные сети. Параллельно-последовательные сети. Поток в сети.

Опр. (k,l) – полюсником называется сеть имеющая k+l полюсов разбитых на два класса: k-входных полюсов, l – выходных полюсов.

(1,1)-полюсник называется двухполюсной сетью.

Цепью называют простую цепь между полюсами сети(S). – входной, выходной полюс. Полюсные ребра-Z.

Сеть состоящая из n параллельных ребер, соединяющих полюса обозначается через.

Сеть, которая может быть получена из сетей иприменением конечного числа операций подстановки сети вместо ребра называетсяпараллельно-последовательной сетью.

Опр. Сетью называется связный ориентированный граф G(V, E) без петель с выделенными вершинами  истоком и  стоком, причем каждой дуге поставлено в соответствие некоторое натуральное число –пропускная способность дуги.

Пропускная способность дуги характеризует максимальное количество вещества, которое может пропустить за единицу времени дуга . Договоримся на сети пропускную способность дуги записывать в круглых скобках.

Поток в сети определяет способ пересылки некоторых объектов из одной вершины графа в другую по направлению дуги. Число объектов (количество вещества) , пересылаемых вдоль дуги, не может превышать пропускной способностиэтой дуги:

Задача о трёх колодцах. Есть три дома и три колодца. Можно ли так проложить дорожки между домами и колодцами, чтобы от каждого дома к каждому колодцу вела дорожка, и никакие две дорожки не пересекались бы. Мосты строить нельзя.

Лемма. Полный двудольный граф с тремя вершинами в каждой из долей (К_3,3) нельзя уложить на плоскость.

Этот раздел не завершён.

Теорема Понтрягина-Куратовского

Очевидно утверждение: если граф G содержит подграф, гомеоморфный K₅ или K_3,3, его невозможно разложить на плоскости. Оказывается, верно и обратное.

Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных полному графу из пяти вершин (K₅) или графу «домики и колодцы» (K_3,3).

Теорему также можно сформулировать в следующем варианте (иногда его называют «теорема Вагнера»).

Граф планарен тогда и только тогда, когда не содержит подграфов, стягивающихся в K₅ или K_3,3.

Признаки непланарных графов

• достаточное условие — если граф содержит двудольный подграфK_3,3 или полный подграфK₅, то он является не планарным;
• необходимое условие — если граф не планарный, то он должен содержать больше 4 вершин, степень которых больше 3, или больше 5 вершин степени больше 2.

Формула Эйлера

Для связного плоского графа справедливо следующее соотношение между количеством вершин , ребер и граней (включая внешнюю грань):

Оно было найдено Эйлером в 1736 г. [1] при изучении свойств выпуклых многогранников. Это соотношение справедливо и для других поверхностей с точностью до коэффициента, называемого эйлеровой характеристикой. Это инвариант поверхности, для плоскости или сферы он равен двум. Формула имеет множество полезных следствий. Если каждая грань ограничена не менее чем тремя ребрами (при условии, что в графе больше двух ребер), а каждое ребро разделяет две грани, то

то есть, при большем числе ребер такой граф заведомо непланарен. Обратное утверждение не верно, например, граф Петерсена. Отсюда следует, что в планарном графе всегда можно найти вершину степени не более 5.

Планарные графы в задачах

Раскраска карты. Необходимо раскрасить плоскую карту заданным числом красок так, что любые две страны, имеющие общий участок границы, имели различные цвета. Оказывается, что при отсутствии анклавов, всегда достаточно четырех красок, но это утверждение чрезвычайно сложно доказать, см. Проблема четырёх красок.

Спрямление графа. Любой плоский граф можно перерисовать так, чтобы он остался плоским, а рёбра стали прямолинейными.

См. также

• Словарь терминов теории графов
• Теория графов
• Клетка (теория графов)
• Теорема Фари
• Гамма-алгоритм — алгоритм проверки графа на планарность и его плоской укладки

Примечания

1. ↑ Ф. Харари Теория графов УРСС стр. 126

Ссылки

• А. Ю. Ольшанский. Плоские графы,СОЖ, 1996, No 11, с. 117—122.
• Ф. Харари. Теория графов. М.: «Мир». 1973
• ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА: АЛГОРИТМЫ, визуализация графов, апплеты

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Планарный граф» в других словарях:

планарный граф — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?gloss >Справочник технического переводчика

ГРАФ ПЛОСКИЙ — планарный граф, граф, допускающий правильную укладку на плоскости (см. Графа укладка). Иными словами, граф G наз. плоским, если он может быть изображен на плоскости так, что вершинам соответствуют различные точки плоскости, а линии,… … Математическая энциклопедия

Граф Петерсена — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей … Википедия

Плоский граф — Планарный граф граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения ребер. Более строго: Граф укладывается на некоторой поверхности, если его можно на ней нарисовать без пересечения ребер. Уложенный граф называется геометрическим, его … Википедия

Вершина (граф) — Здесь собраны определения терминов из теории графов. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

плоский граф — планарный граф — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы планарный граф EN flat graph … Справочник технического переводчика

Двудольный граф — Биграф Двудольный граф или биграф это математический термин теории графов, обозначающий граф, множество вершин которого можно разбить на две части таким образом, что ка … Википедия

Планарность — Планарный граф граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения ребер. Более строго: Граф укладывается на некоторой поверхности, если его можно на ней нарисовать без пересечения ребер. Уложенный граф называется геометрическим, его … Википедия

Теория графов — Граф с шестью вершинами и семью рёбрами Теория графов раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В общем смысле граф представляется как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами. В строго … Википедия

Гамма-алгоритм — Гамма алгоритм алгоритм плоской укладки графа и проверки его на планарность. Содержание 1 Определения 2 Алгоритм 3 Реализация … Википедия

«>