Самым простейшим из методов уточнения корней является метод половинного деления, или метод дихотомии, предназначенный для нахождения корней уравнений, представленных в виде (1).
Пусть функция f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы о существовании корня непрерывной функции (см. с. 5). Предположим вначале, что мы находимся в условиях следствия 1 этой теоремы. Тогда на отрезке [a,b] (предполагаем, что a n log2((b-a)/e ). Например, при исходном единичном интервале и точности порядка 6 знаков (e
10 -6 ) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Мы вначале предполагали, что на [a,b] существует единственный корень. Вообще говоря, если выполнены условия теоремы о существовании корней непрерывной функции (см. с.5), то уравнение (1), может иметь несколько корней (см., к примеру рис.3). Описанный выше алгоритм метода деления пополам позволит все-таки получить один из этих корней. Это следует из того, что после деления отрезка пополам мы всегда выбираем из двух меньших отрезков такой, в котором обязательно имеется корень уравнения (1). Как правило, перед тем как прибегать к помощи подобных алгоритмов, пытаются определить границы a и b настолько точно, чтобы в отрезке [a,b] содержался ровно один корень (см. следствие 1 или 2).
Дата добавления: 2017-02-28 ; просмотров: 798 | Нарушение авторских прав
Одним из вариантов метода проб является метод половинного деления. Он отличается тем, что на каждом следующем шаге отрезок делится не на 10 частей, а на две. При этом получается последовательность отрезков [a,b]; [a1,b1];…;[an,bn], удовлетворяющих условиям:
Найдем точку пересечения касательной с осью абсцисс – х1. Для определения координаты этой точки можем использовать уравнение
x1=x— 
(8).
Повторим проделанную процедуру: напишем уравнение касательной к графику функции в точке х1 и найдем точку пересечения этой касательной с осью Ох (см. рис.1):
х2=x1— 
Продолжая этот процесс, получим последовательность <хn>, определенную с помощью рекуррентной формулы:
xn+1=xn— 
, n=0,1,2,… (9).
При исследовании этой последовательности снова возникают два вопроса:
1) Можно ли процесс вычисления чисел xn продолжать неограниченно, иными словами, будут ли получившиеся значения принадлежать отрезку [a;b]?
2) Если процесс бесконечен, то как ведет себя последовательность <хn> при n®¥?
Оказывается, что если значение х близко к искомому корню, то справедлива теорема о сходимости последовательности (9).
Применим данный метод для решения уравнения (2).
Итак, f(x)=x-cosx, рекуррентная формула имеет вид:
xn+1=xn— 
, n=0,1,2,… (10).
Выберем, как и ранее в качестве нулевого приближения х=0,5 и вычислим несколько следующих приближений по формуле (10) с помощью программы Excel.
21. Активизруйте ячейку В14 и занесите в неё число 0,5;
22. в ячейке D14 запишите формулу: =В14-((B14-COS(B14))/(1+SIN(B14))), после чего нажмите на клавишу Enter;
23. в ячейку В15 занесите: =D14, и нажмите на Enter;
24. 
автозаполнением заполните ячейки B16¸D24.
Результаты вычислений представлены на рис. 15.7
Из рисунка видно, что, начиная с номера n=1, последовательность <хn> убывает и приближается к корню х=с сверху. После четвертого шага процесс останавливается. Остановка связана с тем, что расчеты ведутся с 12 знаками, и после достижения погрешности, не превышающей 10 -12 , становится невозможно уловить разницу между xn+1 и xn, лежащую за пределами ошибки округления.
5. Уточнение корня методом хорд.
Пусть корень уравнения (3) отделен на отрезке [a, b], функция f(x) – непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков. График функции y=f(x) проходит через точки A(a, f(a)) и B(b, f(b)). Запишем уравнение хорды АВ: 
Если у=0, то х=с1 – абсцисса точки пересечения хорды с осью Ох, может быть найдена по формуле:
c1=a— 
(11).
Теперь возьмем на данной кривой точку А1(c1,f(c1))
 |
Найдем абсциссу с2 точки пересечения хорды А1В с осью Ох
с2=с1— 
cn+1=cn— 
При возрастании числа n значение cn приближается к истинному значению корня. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получим приближенного значения корня с заданной точностью.
Мы рассмотрели случай, когда «перемещается» левая граница отрезка [a, b]. Возможен и другой вариант, в этом случае формулы (11-12) имеют вид:
Возможны следующие четыре типа расположения дуги кривой АВ:
1. Функция убывает, график – вогнутая кривая
 |
2. Функция убывает, график – выпуклая кривая
 |
4. Функция возрастает, график – выпуклая кривая
 |
Методами математического анализа доказывается, что если f¢(x) и f¢¢(x) сохраняют знак на отрезке [a, b], то последовательность с1,с2,…cn,… сходится и ее предел равен истинному значению корня.
Рассмотрим решение эти методом уравнения x-cosx=0. Корень уравнения x-cosx=0 будем искать на отрезке [0, 1]
f¢(x)×=1+sin(x))>0, f¢¢(x)=cos(x))>0 на отрезке [0, 1], то есть имеет место (3) случай, поэтому применяем формулы (11-12), получаем:
| С1 | 0,685073 |
| С2 | 0,736299 |
| С3 | 0,738945 |
| С4 | 0,739078 |
| С5 | 0,739085 |
| С6 | 0,739085 |
Из таблицы видно, что, начиная с номера n=1, последовательность <сn> возрастает и приближается к корню х=с снизу. После пятого шага процесс останавливается. Остановка обусловлена теми же причинами, что и в предыдущем методе.
Уточнение корня комбинированным методом хорд и касательных.
Рассмотренные методы решения уравнений удобнее применять в сочетании друг с другом. Например, хороший результат дает комбинация методов хорд и касательных. При этом в случаях (1) и (4) метод хорд дает приближенное значение корня с избытком, а метод касательных – с недостатком, а в случаях (2) и (3) наоборот.
Рассмотрим решение этим методом уравнения x-cos(x)=0. Корень уравнения x-cos(x)=0 будем искать на отрезке [0, 1]. Как сказано ранее, имеет место 3 случай, поэтому применяем формулы (11-12) и формулы (9). Получим
| a | b |
| 0,685073 | 0,750364 |
| 0,738948 | 0,739113 |
| 0,739085 | 0,739085 |
Из таблицы видно, что результат достигается уже на третьем шаге.
Задания для самостоятельной работы.
1) Применяя метод проб, найдите корень уравнения с точностью до 0,1:
2) Применяя метод проб, найдите корень трансцендентного уравнения с двумя верными десятичными знаками:
3) Найдите корень уравнения комбинированным методом хорд и касательных с точностью до трёх десятичных знаков:
a) x 6 +2x – 1=0 (положительный корень) ответ: 0,492
b) х 2 +lgx=5; ответ: 2,160
c) x+arctg x=10; ответ: 8,546
d) 3x+sin x=7. ответ: 2,035
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-15; Нарушение авторского права страницы
Один из методов уточнения корней уравнения (1) – метод половинного деления. Исходные данные: уравнение f(x)=0; отрезок [a,b], на котором существует единственный корень уравнения (корень отделен), т.е. f(x) удовлетворяет условиям: f(x) непрерывна на [a,b], монотонна нем и f(a)f(b) 0 (знаки функции f(x) в точках a и c одинаковы), то левый конец отрезка заменяется на середину (а=с) иначе правый конец заменяется на середину (b=c).
4. Если длина отрезка не превосходит заданной точности (b-a 4 -x 3 -2x 2 +3x-3=0.
Полагая f(x)= x 4 -x 3 -2x 2 +3x-3, имеем f’(x)=4x 3 -3x 2 -4x+3.
Найдем нули производной: 4x 3 -3x 2 -4x+3=0; 4x(x 2 -1)-3(x 2 -1)=0;(x 2 -1)(4x-3)=0;
Составим таблицу знаков функции f(x):
| x | -∞ | -1 | 3/4 | +∞ | |
| f(x) | + | — | — | — | + |
Из таблицы видно, что уравнение имеет два действительных корня x1 
(-∞;-1) и x2 (1;+ ∞). Уменьшим промежутки, на которых находятся корни, до единичной длины:
| x | -2 | -1 | ||
| f(x) | + | — | — | + |
Следовательно, x1 (-2;-1) и x2 (1;2).
Уточним один из корней, например, x1, методом половинного деления до сотых долей. Все вычисления удобно производить, используя следующую таблицу:
Второй корень, уточняемый аналогичным образом, равен 1,73.
2. Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления.
Перепишем уравнение в виде 
. Обозначим 
, 
и построим графики этих функций:
Из рисунка видно, что уравнение имеет три корня: точный x=0 и еще два, расположенных симметрично на отрезках [-3;-2] и [2;3].
Уточним корень на отрезке [2;3]:
Задания
1)Отделить корни аналитически и уточнить их методом половинного деления до 0,01, используя электронные таблицы.
1. 3x 4 +4x 3 -12x 2 -5=0
2. 2x 3 -9x 2 -60x+1=0
5. 3x 4 +3x 3 +6x 2 -10=0
7. x 4 +4x 3 -3x 2 -17=0
8. x 4 -x 3 -2x 2 +3x-3=0
9. 3x 4 +4x 3 -12x 2 +1=0
10. 3x 4 -8x 3 -18x 2 +2=0
11. 2x 4 -3x 3 +8x 2 -1=0
12. 2x 4 +8x 3 +3x 2 -1=0
13. x 4 -4x 3 -8x 2 +1=0
14. 3x 4 +4x 3 -12x 2 -5=0
15. 2x 3 -8x 2 -30x+1=0
17. 2x 4 -2x 2 -7=0
18. 3x 4 +8x 3 +6x 2 -10=0
19. x 4 -18x 2 +6=0
20. x 4 +4x 3 -3x-7=0
21. x 4 -2x 3 -x 2 +3x-3=0
22. 3x 4 +4x 3 -3x 2 -17=0
23. 2x 4 -5x 3 -12x 2 +2=0
24. 3x 4 +9x 3 -14x 2 +1=0
25. x 4 +2x 3 -x-1=0
26. x 4 +8x 3 -6x 2 -72x=0
28. x 4 -3x 2 +75x-10000=0
2) Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления до 0.01, используя электронные таблицы.
Лабораторная работа №3
Решение нелинейных уравнений методом хорд
Краткая теория
Будем рассматривать уравнения вида f(x)=0 (1). Пусть корень уравнения отделен и находится на отрезке [a,b]. Уточним этот корень методом хорд. Геометрически метод хорд означает замену на отрезке [a,b] графика функции y=f(x) хордой, проведенной через точки (a,f(a)) и (b,f(b)):
Здесь ξ — точный корень уравнения (1), x 
— начальное приближение к корню, x 
-точка пересечения хорды с осью Ох – первое приближение к корню. Далее метод хорд применяется на отрезке [a, x ] и получается второе приближение к корню — x 
. В случае, изображенном на рис.1, конец отрезка а остается неподвижным. Из уравнения хорды и условия, что точка (x ,0) принадлежит хорде, получается формула для вычисления n-го приближения к корню для случая, когда а – неподвижный конец: x =b,
x 
=a- 
(2)
Для случая неподвижного конца b используется формула: x =a,
x =x 
— 
(3)
Правило определения неподвижного конца хорды:
Если знаки первой и второй производных функции f(x) на отрезке [a, b] совпадают, то неподвижным являются конец b, иначе — конец a.
Метод хорд обеспечивает на n-м шаге абсолютную погрешность приближения к корню уравнения (1), не превосходящую длину n-го отрезка: 
1. Определить, какой конец отрезка будет неподвижным и принять за x другой конец отрезка.
2. Вычислить новое приближение к корню x по формуле (2) или (3).
3. Если длина отрезка [x , x ] не превосходит заданной точности, то процесс заканчивается и в качестве точного корня можно взять x или x , иначе идти к п.2
Решение одного варианта
1.Отделить корни графически и уточнить их методом хорд с точностью до 0.001: tg(0.5x+0.1)=x 
.
Отделим корень графически. Построим графики функций
y =tg(0.5x+0.1) и y =x :
Таким образом, уравнение имеет два корня
x [0.5; 1] и x [-0.5; 0]
Чтобы уточнить этот корень методом хорд, определим знаки первой и второй производной функции f(x)= tg(0.5x+0.1)-x на промежутке [0.5;1]. Имеем
f ‘(x)=0.5/cos (0.5x+0.1)-2x;
3. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. x lgx — 1.2 = 0
14. 1.8x 2 – sin10x = 0
15. ctgx – x / 4 = 0
16. tg(0.3x + 0.4) = x 2
17. x – 20sinx = 0
18. ctgx – x / 3 = 0
19. tg(0.47x + 0.2) = x 2
20. x 2 + 4sinx = 0
21. ctgx – x / 2 = 0
22. 2x – lgx – 7 = 0
24. 3x – cosx – 1 = 0
26. 10cosx-0,1x 2 =0
2)Отделить корни аналитически и уточнить их методом хорд до 0.001: